Düzensiz gezinme

Bu başlık altında yayılım sırasında katedilen mesafeyi tahmin edebilmemiz için oldukça faydalı olan, matematiksel bir tarif üzerinde duracağız. Düzensiz gezinme, rastgele yürüyüş ya da rassal yürüyüş (İngilizce: random walk) adını verdiğimiz bu tarif, peşpeşe yapılan ve tamamıyla rastgele adımlarla gerçekleşen gezinme sonrasında katedilen ortalama mesafeyi tahmin edebilmemizi sağlıyor. Bu tarif sayesinde kristal içine yayılan atomların belli bir zaman sonunda ne kadar ilerleyebileceğinden, akışkan içinde gezinen bir molekülün hareketlerine, ormanda gezinen vahşi bir hayvanın konumundan, markete sunulan bir ürünün fiyatındaki dalgalanmalara kadar tahmin gerektiren birçok süreç hakkında fikir yürütmemiz mümkün olabiliyor.

Düzensiz gezinmenin temelinde, atılan her adımın kendisinden önce gelen adımlardan bağımsız olması fikri yatıyor. Örnek olarak, aşağıdaki resimde bir çizgi üzerinde kırmızı renkli bir parçacık gösteriliyor. Bu parçacığın düzensiz bir şekilde geziniyor olması, parçacığın her adımda yönü rastgele olacak şekilde sadece bir birim sağa ya da bir birim sola ilerleyebileceği anlamına geliyor. Her yeni adım atıldığında ve parçacık yeni konumuna geçtiğinde parçacığın atacağı yeni adım bir öncekinden bağımsız olarak, rastgele iki yönden birine doğru atılıyor. Yani parçacık, örnek olarak bir birim sağa ilerlemişse, yeni adımda bir birim daha sağa ilerlemesiyle tekrar sola, eski konumuna dönmesi eşit olasılığa sahip oluyor.

Bu düşünceyi iki boyut üzerine, aşağıdaki resimde gösterildiği şekilde taşıyabiliriz. Bu örnekte, iki boyutlu bir kafes üzerinde düzensiz gezindiği varsayılan bir parçacık gösteriliyor. Yukarıda çizgi üzerindeki parçacığın önünde her adımda tercih etmesi gereken 2 seçenek varken, aşağıdaki resimde, dikkat ederseniz, her adımda tercih edilebilecek 4 farklı konum buluyor. Eğer gezinme benzer şekilde, 3 boyutlu bir kafes içinde gerçekleşiyor olsaydı, her adımda parçacığın tercih edebileceği 6 farklı konum bulunacaktı.

Şimdi, düzensiz gezinen bir parçacığın toplamda ne kadar mesafe katedebileceğini matematiksel bir ifadeyle göstermeye çalışalım. Kolaylık sağlaması için parçaçığın çizgi üzerinde gezindiği tek boyutlu duruma geri dönelim. Çizgi üzerinde gezinen parçacık, her adımda ya bir birim sağa ya da bir birim sola hareket edebiliyor. Gezinme tamamıyla rastgele hareketlere dayandığı için, parçacığın belli bir zaman sonra hangi konumda bulunacağını kesin bir şekilde bilebilmemiz tabii ki mümkün değil. Fakat, ilk konumundan ne kadar uzaklaşacağını tahmin edebilmemiz mümkün. Bu tahmini nasıl yapabileceğimizi anlamak için aşağıdaki resime bakalım.

Yukarıdaki resimde çizgi üzerinde gezinen parçacığın her bir adım sonrasında yerleşebileceği yeni konumlar gösteriliyor. Resimde görüldüğü gibi, parçacığın hareketleri her ne kadar rastgele hareketlere dayalı olsa da, belli bir zaman sonra bulunabileceği sınırlı sayıda konum bulunuyor. Örnek olarak parçacığın 3. adımda ilk konumundan ya bir birim, ya da üç birim uzaklaşmış olabileceğini, 4. adımda ise ya ilk konuma döneceğini ya da iki veya dört birim uzaklaşmış olabileceğini görebiliyoruz.

Dolayısıyla, gezinme her ne kadar rastgele olsa da, parçacığın her adımda yerleşebileceği sınırlı sayıda konum bulunuyor. Bu sınırlı sayıdaki konumları dikkate alarak, parçacığın ilk konumdan ne kadar uzaklaşmış olabileceği hakkında tahmin yürütmemiz mümkün olabiliyor.

Parçacığın ilk konumdan ne kadar uzaklaşmış olabileceğini sayısal bir şekilde ifade edebilmek için, parçacığın her bir adımda ne kadar bir mesafe ilerleyebildiğini, ne sıklıkla yeni bir konuma geçtiğini ve toplam gezinme süresini bilmemiz gerekiyor. Parçacığın konum değiştirme sıklığını (İngilizce: jump frequency) ν ile gösterirsek, belli bir süre zarfında yapılacak toplam adım sayısını ν ile zamanın çarpımı ile bulabiliriz (νt). Bu işlem sonrasında ulaştığımız atılan toplam adım sayısını n ile, iki konum arasındaki mesafeyi de, yukarıdaki resimde olduğu gibi λ ile gösterirsek, parçacığın gezinme sonunda katedeceği muhtemel mesafenin ortalama değerini aşağıdaki formül ile ifade edebiliriz.

Bu eşitlik, her bir adımda λ kadar ilerleyen bir parçacığın belli bir süre sonunda katedeceği yaklaşık mesafeyi, adım uzunluğu ile adım sayısının karekökünü çarparak tahmin edebileceğimizi ifade ediyor. Yani toplamda 10000 adım atan bir parçacığın ilk konumundan 100λ kadar uzaklaşmış olmasını beklememiz gerektiğini gösteriyor. Elbette, bu eşitlik sadece ortalama bir mesafe tahmini ortaya koyuyor. Gerçekte bir parçacığın bu eşitliğin tahmin ettiği değerden bir miktar daha uzağa ya da daha yakına ilerlemesi oldukça muhtemel. Fakat çok  sayıda parçacık aynı noktadan başlayarak ve aynı sayıda adım atarak düzensiz gezindiğinde, parçacıkların katedeceği ortalama mesafeyi bu eşitlik sayesinde tahmin edebiliyoruz.

Bu eşitliği her ne kadar çizgi üzerinde gezinen bir parçaçık için yazmış olsak da, aynı eşitliği yukarıda bahsettimiz düzlem üzerinde gezinen parçacık için de, hatta üç boyutlu kafes içinde gezinen bir atom için de aynı şekliyle kullanabiliyoruz. Burada önemli bir noktanın altını çizelim: bu eşitlik ile ulaşmış olduğumuz mesafe değeri, parçacığın attığı bütün adımlar toplandığında elde edilen mesafeyi değil, parçacığın ilk konumdan ne kadar uzaklaştığını gösteriyor. Yani, ilk konum ile son konum arasındaki vektörel mesafeyi ifade ediyor.

Bu başlık altında kafes noktaları üzerinde gezinen tek bir parçacığın hareketini göz önüne aldık. Bir sonraki konudan itibaren birçok parçaçığın gezinmesiyle gerçekleşen yayılım işleyişinden bahsetmeye başlayacağız.

Devamı: