Konsantrasyon eğimi ve akı

Kristal yapı içinde gezinen tek bir atomun, tamamen rastgele adımlar atarak kristal içinde nasıl dolaştığından bir önceki konu başlığında bahsettik. Bu ve devamında gelen konu başlıklarında, bir önceki sayfada anlattığımız tek atomdan yola çıkarak, birçok atomun bir ortam içindeki yayılımını matematiksel olarak nasıl tarif edebildiğimiz üzerinde duracağız.

Yayılım her ne kadar atom bazında rastgele hareketlere dayalı olsa da, birçok atom işin içine girdiğinde daima konsantrasyonun yüksek olduğu bölgelerden düşük olduğu bölgelere doğru ilerliyor. Bu noktada şöyle bir soru sorabiliriz: eğer atomların gezinmesi tamamen rastgele adımlarla gerçekleşiyorsa, yayılım nasıl oluyor da daima konsantrasyonun azaldığı yönde ilerleyebiliyor? Bu soru ilk bakışta her ne kadar makul görünse de, 1855 yılında Alman fizyolog Adolf Eugen Fick bu işleyişin matematiksel tarifini sunarak, aslında sürecin tam da bu şekilde işlemesi gerektiğini; yani rastgele adımların azalan konsantrasyon yönünde yayılım ortaya çıkarması gerektiğini gösteriyor. Fick’in matematiksel tarifinin ayrıntılarına girmeden önce, kısaca bazı temel kavramlardan bahsedelim.

Öncelikle konsantrasyondaki değişimi matematiksel olarak nasıl ifade ettiğimize bakalım. Aşağıdaki resimde bir kristal içine sızmış, kırmızı renkli yeralan atomları gösteriliyor. Resimde görüldüğü gibi, kırmızı atomlar yapı içinde homojen dağılmış durumda değiller. Bu da, yeralan atomu konsantrasyonun kristal içinde değişiklik gösterdiği anlamına geliyor. Konsantrasyon kristal içinde bir çok farklı doğrultuda değişiyor olsa da, diyelim ki biz sadece konsantrasyonun yatay doğrultuda, soldan sağa doğru nasıl değiştiğiyle ilgileniyoruz. Bu durumda sadece dikey kafes düzlemleri arasında konumlanan kırmızı atomların sayısını bilmemiz bizim için yeterli oluyor. Yani, kırmızı atomların konumlarının dikey doğrultuda nasıl değiştiği bizim için bir önem taşımıyor; çünkü sadece yatay doğrultudaki konsantrasyon değişimi ile ilgileniyoruz. Aşağıdaki resimde dikey kristal düzlemleri arasına konumlanan yeralan atomlarının sayısı gösteriliyor. İki dikey düzlem arasındaki kırmızı atom sayısını konsantrasyon olarak ifade etmek için, düzlemler arasındaki atom sayısını düzlemler arası mesafeye (λ) bölmemiz yeterli oluyor.


Yukarıdaki resimde konsantrasyonun sabit bir eğimde azaldığını görüyoruz. Konsantrasyonun mesafeye bağlı olarak nasıl değiştiğini tek bir nicelik üzerinden ifade etmek için yukarıdaki grafiğin eğiminden, yani konsantrasyon eğiminden (İngilizce: concentration gradient) faydalanıyoruz. Konsantrasyon eğimi, konsantrasyonun mesafeye bağlı değişimini ifade ettiği için, konsantrasyonun mesafeye göre türeviyle gösteriliyor. Konsantrasyonun sadece mesafeye değil, zamana bağlı olarak da değişiyor olması, yani birden fazla değişkene bağlı olması nedeniyle, konsantrasyon eğimini kısmi türev (İngilizce: partial derivative) ile gösteriyoruz. Konsantrasyonun zamana bağlı değişiminden ikinci Fick yasası başlığı altında bahsedeceğiz.

Yayılmanın matematiksel tarifini anlayabilmemiz için öğrenmemiz gereken bir diğer kavram da akı (İngilizce: flux). Akı, birim zaman diliminde, birim kesit alanından geçen bir niceliğin miktarını ifade ediyor. Daha yalın bir ifadeye, bir saniye içinde, bir metrekarelik alandan geçen sayılabilir bir niceliğin miktarını veriyor. Akısını ölçmek istediğimiz nicelik, bir malzemenin kesit alanından birim zamanda geçen atom sayısı olabileceği gibi, yaz gecesi açık bir pencereden içeri giren sivrisinek sayısı da olabilir.

Örnek olarak yukarıdaki resim üzerinde, bir silindir içerisinde akmakta olan parçacıkların akısını nasıl ölçebileceğimize bakalım. Eğer parçacıkların akısı sabitse, hesaplamamıza silindir içindeki bir kesit alanından belli bir süre zarfında geçen parçacık sayısını sayarak başlıyoruz. Diyelim ki silindirin kesit alanı 10 cm2 (yani 0.001 m2) ve toplam 10 saniyelik zaman diliminde bu kesitten 100 parçacık geçti. Akı, 1 saniye içinde 1 metrekare alandan geçen parçacık sayısı olduğuna göre, öncelikle saydığımız parçacık sayısını zamana bölüyoruz: 10 saniyede 100 parçacık geçtiğine göre, 1 saniyede 10 parçacık geçiyor olmalı. Bu bulduğumuz sayıyı, daha sonra kesit alanına bölüyoruz: 0.001 m2 içinden 1 saniyede 10 parçacık geçtiğine göre, 1 m2 içinden 10000 parçacık geçiyor olmalı. Ulaştığımız bu son rakam bize parçacıkların akısını veriyor: 10000 parçacık m-2 s-1.

Bu örnekte silindir içinde akan parçacıkların akısını tarif etmeye çalıştığımız için, sonuç olarak elde ettiğimiz değer “parçacık m-2 s-1” birimine sahip oluyor. Benzer bir yaklaşımla, bir kristal yapı içinde yayılan atomların akısını tarif ettiğimizde ise, ulaştığımız akı değerleri “atom m-2 s-1” birimine sahip oluyor.

Akı ve konsantrasyon eğimi kavramlarını açıkladığımıza göre, bir sonraki konudan itibaren Fick’in yayılım tarifinden bahsetmeye başlayabiliriz.

Devamı: