Bir noktadaki gerinimin tarifi

Gerinimi (ingilizce: strain) basitçe tarif edebilmek için, ufak noktacıklardan meydana geldiğini varsaydığımız bir cismi ele alalım. Ardından, bu cismin kuvvet altında bir miktar şekil değiştirdiğini farz edelim. Cismin şekli değiştiğinde, cismi  oluşturan noktacıkların farklı yön ve miktarlarda konumlarını değiştirdiklerini gözlemleyeceğiz. Noktacıkların konumlarında meydana gelen bu göreceli yer değişimine gerinim adını veriyoruz.


mühendishane video
Not: Bu içeriği genişletilmiş haliyle video olarak da izleyebilirsiniz. Dersler başlığı altındaki Malzemelerin Mekanik Davranışları video listesine göz atmak için resme tıklayın.


Bir cisimde gerinim oluşabilmesi için, cismi oluşturan noktacıkların konumlarını farklı miktarlarda ve farklı yönlerde değiştirmiş olmaları gerekiyor. Eğer bütün noktacıklar aynı yönde ve aynı miktarda hareket etmişse, bu gerinim oluştuğu değil, cismin yer değiştirdiği anlamına geliyor (İngilizce: rigid body translation). Masanın üzerinde duran bir bardağı kaldırıp başka bir yere koyduğumuzda örneğin, bardağı oluşturan bütün noktacıklar aynı yönde ve miktarda konum değiştirdikleri için bardakta bir gerinim meydana gelmiyor.

Şimdi, cismi oluşturan noktacıkların konumlarındaki değişimlerden yola çıkarak, gerinimin matematiksel ifadesini nasıl elde ettiğimize bakalım. Aşağıdaki resimde bir ucundan tavana asılmış, L0 uzunluğunda bir çubuk gösteriliyor. Bu çubuğun ucuna, sağda gösterildiği gibi bir yük asıldığında çubuğun uzunluğunun L değerine ulaştığını farz edelim.

Yük asıldığında çubukta oluşan gerinimi bulmak için, çubuktaki uzama miktarını (yani LL0), çubuğun yük asılmadan önceki uzunluğu ile oranlıyoruz.

Bu eşitlik ile elde ettiğimiz gerinim değeri, çubukta oluşan toplam gerinimi veriyor. Eğer çubuğun kesit alanı çubuk boyunca değişmiyorsa ya da çubuk boyunca elastik modül sabit ise, çubuğun uzunluğu boyunca her noktada aynı miktarda gerinim oluştuğunu söyleyebiliriz. Eğer bu değerler değişim gösteriyorsa, çubuk boyunca farklı noktalar arasındaki gerinimi ifade edebileceğimiz matematiksel bir yaklaşım kullanmamız gerekiyor.

Bu yaklaşımı tarif etmek için yukarıdaki resimde gösterilen durumu tekrar göz önüne alalım. Aşağıdaki resimde solda, tavana asılı çubuk üzerinde tavandan y kadar uzakta duran dy uzunluğundaki kırmızı bir kesit gösteriliyor. Çubuğa yük asıldığında, kesitin başlangıç noktası y’ noktasına kayarken (yani v kadar yer değiştirirken), kesitin toplam uzunluğunun dy’ değerine çıktığını görüyoruz.

Şimdi, sadece kırmızı renkli kesitte oluşan gerinimi nasıl bulabileceğimize bakalım. Kırmızı renkli bu kesiti tek başına bir çubuk olarak ele alırsak, kesitin uzunluğunda meydana gelen değişimi (dy’dy) kesitin ilk uzunluğuna oranlayarak (dy) gerinimi bulabiliriz:

Kesitin konumundaki değişim v = y’y olduğu için, gerinimi aşağıdaki gibi, kesitin üst noktasının yer değişimi üzerinden de tarif edebiliriz.

Bu eşitlik, tek yönlü çekme durumunda çubuğun herhangi iki noktası arasında oluşan gerinimi veriyor. Yani, kırmızı renkle gösterilen kesitin uzunluğu ne olursa olsun ve kesit çubuk boyunca nereye konumlanırsa konumlansın, yukarıdaki eşitlik daima geçerliliğini koruyor.

Şimdi bu gerinim ifadesini bir de üç boyutlu gerinim durumu için yazmaya çalışalım.

Yukarıdaki (a) ile gösterilen resimdeki cismin (b) ile gösterildiği gibi şekil değiştirdiğini farz edelim. Bu şekil değişimi sonrasında cisim içerisinde M ile gösterilen noktanın da M’ konumuna kaydığını kabul edelim. Yukarıda (c) ile gösterilen resimde bu şekil değişimi sonrasında M noktasının konumundaki değişim bir vektör olarak gösteriliyor. Konunun girişinde, tek eksenli gerinim için verdiğimiz örnekte, kesitin üst noktasındaki yer değişimini v ile göstermiştik. Bu örnekteki gerinim üç eksenli olduğu için yer değişimini üç farklı bileşenle, yani xyz eksenleri için sırasıyla uv ve w ile gösteriyoruz. Dolayısıyla, cismin içinde yer alan M noktasının koordinatlarını (x, y, z) ile, M’ noktasının koordinatlarını da (x + u, y + v, z + w) ile ifade edebiliyoruz.

Yukarıdaki tek eksenli gerinim örneğinde, çubuk içindeki kırmızı kesitte oluşan gerinimi kesitin yer değişimi üzerinden nasıl tarif edebildiğimizi göstermiştik. Tek yönlü gerinim için uyguladığımız bu yaklaşımı üç boyutlu gerinim için kullandığımızda, x, y ve z yönlerindeki normal gerinimlerin aşağıdaki benzer ifadelerine ulaşabiliyoruz.

Normal gerinimlerin ardından, bir de kesme gerinimlerini (γ) nasıl tarif ettiğimize bakalım.

Yukarıdaki resim, kolaylık sağlaması için iki boyutlu kesme gerinimi durumunu gösteriyor. Dikkat ederseniz, resimde gösterilen cisim kesme gerilimleri altında şekil değiştirdiğinde, cisimde hem x, hem de y yönünde bir açısal çarpılma (İngilizce: angular distortion) meydana geliyor. Cisimde x yönünde oluşan açısal çarpılmayı exy ile, y yönünde oluşan açısal çarpılmayı da eyx ile gösteriyoruz. Aşağıda bu açısal çarpılmaların ifadeleri veriliyor (x yönündeki yer değişimini u ile, y yönündeki yer değişimini de v ile gösterdiğimizi tekrar hatırlatalım):

Şekil değişimi sonrasında oluşan kesme gerinimlerini, aynı indislere sahip bu açısal çarpılma değerlerini toplayarak hesaplıyoruz. Örnek olarak aşağıdaki resimde hem şekil, hem de yer değiştiren iki boyutlu bir serbest cisim gösteriliyor. Bu cisimde oluşan γxy kesme gerinimini aynı indislere sahip exy ve eyx açısal çarpılma değerlerini toplayarak bulabiliyoruz.

Konuya biraz daha açıklık getirmek için γxy kesme geriniminin ifadesine nasıl ulaştığımızı ayrıntılı olarak inceleyelim. Daha önce bahsettiğimiz gibi, kesme gerinimini açısal çarpılmaların toplamıyla ifade ediyoruz:

Bu konu başlığı altında bahsettiğimiz elastik gerinimler çok küçük oldukları için, oluşan açısal çarpılma değerlerini açıların tanjantlarına eşit olarak kabul edebiliyoruz (küçük α değerleri için α ≈ tanα). Dolayısıyla α açısal çarpılma değerini aşağıda gösterilen şekilde yazabiliyoruz:

Çok küçük şekil değişimi değerleri için x doğrultusundaki yer değişimini göz ardı ettiğimizde;

α ve β açısal çarpılma değerlerini yer değişimi miktarları üzerinden aşağıdaki eşitliklerle ifade edebiliyoruz:

α ve β değerlerinin toplamı bize kesme gerinimini verdiği için, γxy kesme geriniminin ifadesine böylece ulaşmış oluyoruz:

Yukarıda iki boyutlu gerinim için yazdığımız bu eşitlikleri, aynı yaklaşımı kullanarak üç boyutlu durum için de yazabiliyoruz. Üç boyutlu gerinim için normal ve kesme gerinimleri aşağıda gösteriliyor (ε normal gerinimi ifade ediyor).

Son olarak, kesme gerinimi için de, kesme geriliminde olduğu gibi aşağıdaki eşitliklerin geçerli olmak durumunda olduklarını belirterek bu konu başlığına son verelim (γxy = γyx = α + β):

Bir sonraki konu başlığında, gerinim değerlerini bir tansör içinde nasıl topladığımızdan bahsedeceğiz.


Devamı: