Çok eksenli akma kriterlerinin grafiksel gösterimleri

Bu başlık altında Tresca ve Von Mises kriterlerinin sağladığı akma tahminlerini kıyaslayacağız. Kolaylık sağlaması açısından öncelikle iki boyutlu, düzlemsel gerilim durumuna bakalım.

Tresca kriteri, akmanın başlayacağı noktayı tahmin etmek için en büyük ve en küçük asal gerilimlerin farkını göz önüne alıyor. Düzlemsel gerilim durumunda asal gerilimlerden biri sıfır değerini aldığı için, Tresca kriterini kullanırken hangi asal gerilimleri kullanacağımız, gerilimlerin işaretine göre değişiklik gösteriyor. Eğer cisim üzerine etki eden iki gerilim de çekme gerilimi ise (yani (+) işarete sahipse), daha büyük değere sahip olan asal gerilimi σ1, sıfır değerine sahip olan gerilimi de, en küçük asal gerilim değeri olduğu için, σ3 olarak kabul ediyoruz. Bu da demek oluyor ki, ortanca değere sahip σ2’nin değeri ne olursa olsun, σ1’in üzerine çıkmadıkça, ya da σ3’ün altına düşmedikçe, tahmin edilen akma değeri üzerinde hiçbir etki yaratmıyor.

Tresca kriterinden farklı olarak Von Mises kriterini kullandığımızda ise, akmanın başlayacağı noktayı bulmak için her üç asal gerilimi de göz  önüne alıyoruz. Dolayısıyla, akmanın başladığı noktaya dair daha rafine bir tahminde bulunabiliyoruz.

Basit bir örnek vermek adına, düzlemsel gerilim durumu için Von Mises kriterini nasıl türettiğimize bakalım. Önceki konu başlığında bahsettiğimiz gibi, Von Mises kriteri, çok eksenli gerilim için “eşdeğer akma gerilimini” aşağıdaki eşitlikle ifade ediyor.

Kareköklü ifadeden kurtulmak için her iki tarafın karesini alıp, sapma tansörünün ikinci katsayısını da açık ifadesiyle yazalım. Düzlemsel gerilim altındaki cisme etki eden iki asal gerilimin de çekme gerilimi olduğunu varsayalım. Her iki gerilimin de (+) değerde olması nedeniyle, σ3 = 0 olarak kabul edeceğiz. (Eğer cisim üzerindeki gerilimlerden biri baskı gerilimi olsaydı, bu gerilim (-) değere sahip olacağı için, en küçük asal gerilim (σ3) olarak bu değeri ele alacaktık.)

Eşitliği aşağıda gösterilen şekilde düzenlersek;

Von Mises kriterini düzlemsel gerilim için aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

Elde ettiğimiz bu eşitliği σ1 ve σ2 eksenleri üzerinde gösterdiğimizde bir elips elde ediyoruz. Aşağıdaki resimde Von Mises ve Tresca kriterlerince tahmin edilen akma gerilimi değerlerinin, σ1 ve σ2 ye bağlı olarak nasıl değiştikleri gösteriliyor.

Asal gerilimlere bağlı olarak akmanın başlayacağı noktayı ifade eden bu gösterimlere akma yörüngeleri (İngilizce: yield locus) adını veriyoruz. Her iki kriter de, tek yönlü gerilim durumunda (yani eksen çizgileri üzerinde) akma geriliminin σ0 değerini alacağını doğru bir şekilde tahmin ediyor. İki kriter arasındaki fark, iki eksenli gerilim durumlarında ortaya çıkıyor. Von Mises kriteri, Tresca kriterine kıyasla akmanın başlayacağı gerilimin mutlak değerini biraz daha yüksek bir değerde tahmin ediyor. Kolaylığından dolayı Tresca kriteri mühendislik uygulamalarında daha sık tercih edilse de, Von Mises kriterinin her üç asal gerilimi de göz önüne alması nedeniyle, daha gerçekçi bir tahmin yapabildiğini söyleyebiliriz.


Devamı: