Çok eksenli gerilim için akma kriterleri: Von Mises kriteri

Tresca’nın ardından, yaklaşık 50 sene sonra bir başka akma kriteri de Avusturya doğumlu matematikçi Richard von Mises tarafından öne sürülüyor. Von Mises akma kriteri, Tresca’dan farklı olarak yalnızca en büyük ve en küçük asal gerilimleri değil, bütün asal gerilimleri göz önüne alıyor. Dolayısıyla, daha rafine bir akma tahmininde bulunabilmemizi sağlıyor.

Hatırlarsanız, gerilim tansörünün bileşenlerinden bahsederken, gerilimin hidrostatik bileşeninin şekil değişimi yaratmadığını, şekil değişiminin yalnızca sapma bileşenine bağlı olduğunu belirtmiştik. Von Mises, akma kriterini işte bu düşünce doğrultusunda geliştiriyor. Hidrostatik gerilimin akma üzerinde bir etkisi olmaması nedeniyle, sapma tansörünün birinci katsayısını (J1) göz ardı ediyor. Bunun yerine asal gerilimler arasındaki farkları dikkate alan ikinci sabit katsayıya (J2) odaklanarak, akma kriterini bu katsayı çevresinde şekillendiriyor.

Von Mises kriteri, akmanın başlayabilmesi için sapma geriliminin ikinci katsayısının k2 ile gösterilen belli bir değeri aşması gerektiğini söylüyor. Kriterin J2 üzerine kurulması nedeniyle birçok kaynakta Von Mises kriterinden J2 akma teorisi adıyla bahsedildiğini görebilirsiniz. Von Mises kriterinin matematiksel ifadesini aşağıda gösterilen şekilde yazıyoruz.

İkinci sabit katsayıyının aşağıdaki ifadeye sahip olduğunu tekrar hatırlatalım.

Von Mises kriterine göre yukarıda J2 ile gösterilen sabit katsayının değeri k2 değerinin üzerine çıktığında akma başlıyor. Basit bir örnek vermek adına, şimdi bu kriteri tek yönlü gerilim için nasıl kullandığımıza bakalım.

Tek yönlü gerilimde, ikinci ve üçüncü asal gerilim değerlerinin sıfır olduğunu biliyoruz (σ2 = σ3 = 0). Dolayısıyla, sadece birinci asal gerilimi kullanarak Von Mises kriterini aşağıda gösterilen şekilde yazabiliriz.

Dolayısıyla,

Tek yönlü gerilim için akma dayancını σ0 ile gösterirsek, k değerini akma dayancı cinsinden aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.

Yukarıdaki eşitlik, oldukça ilginç bir sonuç ortaya çıkartıyor: bir malzeme üzerine uygulanan kesme geriliminin akma yaratabilmesi için, tek eksenli akma dayancından karekök üçe bölünmüş miktarda daha düşük olması yeterli oluyor. Örneğin, tek eksenli çekme testinde akma dayancını 173 MPa olarak hesapladığımız bir numuneye sadece kesme gerilimi etki ettiğinde, gerilim 100 MPa değerine ulaştıktan sonra plastik şekil değişimi başlıyor.

Tek eksenli çekme için elde ettiğimiz bu eşitliği, en tepede yazdığımız eşitlikle birleştirdiğimizde, Von Mises kriterinin çok eksenli gerilim için genel ifadesini elde etmiş oluyoruz.

Bu eşitlikteki σv ifadesi, Von Mises gerilimini, yani çok eksenli gerilim için eşdeğer bir akma dayancını gösteriyor.

Bir sonraki konu başlığından Tresca ve Von Mises kriterlerinin kıyaslamasından bahsedeceğiz.


Devamı: