Düzlem üzerindeki bir noktaya etki eden gerilimin matematiksel ifadesi

Bir nokta üzerine etki eden gerilimi ifade edebilmemiz için, öncelikle o noktadaki gerilimi üç boyuttaki normal ve kesme bileşenlerine ayırmamız gerekiyor. Üç boyutlu geometrilere geçmeden önce, daha basit bir giriş yapmak adına, iki boyutta gerilimi nasıl ifade ettiğimizi açıklayarak başlayalım.

Her ne kadar mühendislik uygulamalarında kullanığımız bütün malzemeler doğal olarak üç boyutlu geometriye sahip olsalar da, zaman zaman bu malzemeleri iki boyutluymuş gibi kabul edebiliyoruz. Düzlemsel gerilim (İngilizce: plane stress) adını verdiğimiz bu durumda, bir boyutu diğer ikisine göre çok daha kısa olan geometrideki (sac ya da plaka gibi) malzemelerin kalınlıkları boyunca oluşan gerilimleri göz ardı ediyoruz. Malzeme üzerindeki gerilimi sadece iki boyuttaki normal ve kesme bileşenleriyle ele alarak, tatmin edici doğrulukta bir sonuç elde edebiliyoruz. Bu da, tahmin edebileceğiniz üzere, uğraştığımız problemi önemli ölçüde basitleştiriyor.

Şimdi, bir miktar yük altında duran ince bir plaka düşünelim. Bu plaka üzerinde yer alan bir noktadaki gerilimin matematiksel ifadesine ulaşmak istiyoruz. Toplam gerilimi bu nokta üzerindeki normal ve kesme bileşenlerine ayırdığımızda üç değere ulaşıyoruz: normal gerilimler: σx ve σy, ve kesme gerilimi: τxyxy = τyx olacağı için τyx’i ayrıca belirtmemize gerek yok). Bu üç gerilim değeri, nokta üzerindeki gerilimi ifade edebilmemiz için yeterli oluyor.

Ancak, mekanik kapsamında incelediğimiz birçok problemde bu yaklaşım sonunda karşımıza çıkan bir sorun var. Bir nokta üzerindeki gerilimi bileşenlerine ayırabilmek için, öncelikle incelediğimiz cismi bir eksen sistemi üzerine oturtmamız gerekiyor. Bizim tercihimize kalan bu eksen sisteminin yöneliminin değişmesi, tahmin edebileceğiniz gibi, nokta üzerindeki gerilimin bileşenlerinin de farklılık göstermesine yol açıyor. Bu nedenle, gerilimi eksenin yöneliminden bağımsız olarak ifade edebileceğimiz bir yaklaşıma ihtiyaç duyuyoruz.

Bu sorunu ortadan kaldırmak için basit bir çözüm uyguluyoruz. Eksenlerin yönelimi değiştikçe bileşenleri her seferinde yeniden hesaplamak yerine, bir eksen yönelimdeki gerilim değerlerini bulup, başka bir yönelimde bu değerlerin nasıl değiştiğini direkt olarak hesaplayabildiğimiz bir yöntem kullanıyoruz. Yani, daha basit bir şekilde ifade etmek istersek, bir eksen üzerindeki gerilim bileşenlerini biliyorsak, başka bir eksen yöneliminde bu gerilim değerlerinin nasıl değişeceğini sadece iki eksen arasındaki yönelim farkına bakarak hesaplayabiliyoruz.

Bu eksen dönüşümlerini (İngilizce: transformation of axes) nasıl yaptığımızı basit bir çekme testi üzerinden anlatalım. Aşağıdaki resimde, tek yönlü çekme testi uygulanan silindir geometriye sahip bir çubuk gösteriliyor. Gerilimin uygulandığı yönü y-ekseni olarak kabul edip uygulanan gerilimi σy ile, çubuğun kesit alanını da A ile gösterelim.

Şimdi, silindirin kesit alanına etki eden gerilimden (σy) yola çıkarak, bu yüzeye θ derece açıyla duran farklı bir yüzeydeki gerilimleri bulmak istediğimizi düşünelim. Bu yeni yüzey, uygulanan gerilime dik konumlanmadığı için, üzerine hem normal gerilim (σy’) hem de kesme gerilimi (τx’y’) etki edecek. Aşağıda sağdaki serbest cisim diyagramı üzerinde, θ yönelimine sahip düzlem ve bu düzlem üzerindeki gerilimler gösteriliyor.

Eksen dönüşümünün matematiğine geçmeden önce, önemli bir noktayı vurgulayalım: Yukarıdaki serbest cisim diyagramına dikkat ederseniz, σy ve σy’ gerilimlerinin etki ettikleri düzlemlerin farklı yüzey alanlarına sahip olduklarını görebilirisiniz . Dolayısıyla, gerilimleri bir eksenden başka bir eksene tercüme ederken, alanların büyüklüklerini de aynı şekilde dikkate almamız gerekiyor. Aşağıdaki resimde bu alan dönüşümlerinin nasıl yapıldığı gösteriliyor.

Analize başlamak için, öncelikle θ derece açıyla duran mavi yüzeye dik yöndeki kuvvet dengesine bakalım:

Şimdi de mavi yüzeye paralel yöndeki kuvvet dengesine bakalım:

Sonuç olarak, σy’ ve τx’y’ için elde ettiğimiz bu iki denklem sayesinde, bir düzlem üzerindeki gerilimin başka yönelime sahip düzlemlerdeki büyüklüklerini, sadece düzlemler arasındaki açıya bakarak hesaplayabiliyoruz.

Tek yönlü gerilimin ardından, bir de kısaca düzlemsel gerilim durumunda bu gerilim dönüşümlerini nasıl yaptığımızdan bahsedelim. Öncelikle, iki boyutlu bir serbest cisim üzerine, aşağıda gösterilen şekilde iki normal (σx ve σy) ve bir de kesme gerilimi (τxy) etki ettiğini farz edelim. Kırmızı renkle gösterilen O noktasına etki eden gerilimi ifade edebilmek için, eksen yöneliminden bağımsız olarak gerilim değerlerini yazabilmemiz gerekiyor. Dolayısıyla, tek yönlü gerilim durumunda yaptığımız gibi, tekrar ekrana dik duran, ve x ekseni ile arasında θ derece yönelim farklı olan bir düzlemi ele alıyoruz.

Tek yönlü gerilim durumunda yaptığımız şekilde kuvvet dengesini yukarıdaki eğik düzlem için yazdığımızda, aşağıda gösterilen iki yönlü gerilim durumundaki dönüşüm denklemlerine ulaşabiliyoruz. Bu denklemler, tek yönlü gerilim için tarif ettiğimiz yönteme benzer bir yaklaşımla türetildikleri için, nasıl türetildiklerinin ayrıntılarını burada vermeyeceğiz.

Sonuç olarak, σx’, σy’ ve τx’y’ için elde ettiğimiz bu üç denklem, bir düzlem üzerine etki eden iki yönlü gerilimin, farklı yönelime sahip düzlemlerdeki büyüklüklerini sadece düzlemler arasındaki açıya bakarak hesaplayabilmemizi sağlıyor.

Bir sonraki konu başlığında, bu gerilim dönüşümlerini daha rahat yapmamızı sağlayan bir yöntemden bahsedeceğiz.


Devamı: