Düzlemsel gerilim için Mohr çemberi

Düzlemsel gerilim durumunda, gerilim dönüşümlerini basit bir görsel yöntem aracılığıyla da gerçekleştirebiliyoruz. Alman mühendis Otto Mohr’a ithafen Mohr çemberi adını verdiğimiz bu yöntemin temeli, önceki konu başlığı altında anlattığımız matematiksel ifadelere dayanıyor. Yöntemin nasıl kullanıldığını basit bir örnekle göstermek adına, aşağıdaki basit basamaklar üzerinden Mohr çemberi ile bu dönüşümleri nasıl yaptığımızı açıklayalım.


mühendishane video
Not: Bu içeriği genişletilmiş haliyle video olarak da izleyebilirsiniz. Dersler başlığı altındaki Malzemelerin Mekanik Davranışları video listesine göz atmak için resme tıklayın.


Önünüzdeki ekrana paralel duran bir düzlem olduğunu farz edelim. Bu düzlem üzerine iki normal (σx = +4, σy = -2) ve bir de kesme gerilimi (τxy = +3) etki ediyor olsun. Düzlem üzerindeki bu gerilim durumunu bir serbest cisim diyagramı üzerinde aşağıdaki şekilde gösterebiliyoruz.

Serbest cisim diyagramı üzerinde x ekseni yönündeki gerilim (+) değere sahip olduğu için çekme gerilimi, y ekseni yönündeki gerilim ise (-) değere sahip olduğu için baskı gerilimi olarak gösteriliyor. τxy ile gösterilen kesme gerilimi de (+) değere sahip olduğu için saat yönünde gösteriliyor. Cismin dengede kalması için bu gerilimi dengelemesi gereken τyx ise, τxy ile aynı değere sahip olarak, fakat ters yönde gösteriliyor.

Bir sonraki adımda bu değerleri bir grafik üzerine aktarıyoruz. Grafiğin x eksenine normal gerilim değerlerini, y eksenine de kesme gerilimi değerlerini yerleştiriyoruz. τxy ve τyx’nin ters yönde etki etmeleri nedeniyle grafik üzerinde τxy’nin (+), τyx’nin ise (-) değer olarak gösterildiğine dikkat ediniz.

Sonrasında, gerilim değerlerini gösteren noktaları bir çizgi ile birleştiriyoruz (yukarıdaki yeşil çizgi). Bu çizginin x eksenini iki normal gerilim değerinin orta noktasında kesmesi gerekiyor. Örneğin yukarıda bu çizgi x eksenini (σx + σy)/2, yani (4 + (-2))/2 = 1 noktasında kesiyor.

Ardından, bu kesim noktası üzerine bir pergel yerleştirip, pergeli çizdiğimiz yeşil çizginin ucuna kadar açarak bir çember çiziyoruz. Dolayısıyla, iki nokta arasına çizdiğimiz yeşil çizgi çemberin çapına eşit oluyor. Böylece, bu düzlemsel gerilim örneği için Mohr çemberini çizmiş bulunuyoruz.

Eksen dönüşümleri sonrasında gerilim bileşenlerinde oluşan değişimleri, önceki sayfadaki denklemlere gerek kalmadan, bu çember üzerinden de takip edebiliyoruz. Tek yapmamız gereken çemberi oluştururken çizdiğimiz çizgiyi serbest cismi döndürdüğümüz yönde, fakat serbest cismin yaptığı açının iki katı açıda döndürmek. Örneğin, serbest cisim saat yönünde 30° döndüğünde elde edeceğimiz gerilim bileşenlerini bulmak istiyorsak, çap çizgisini merkezi sabit tutarak 60° döndürmemiz gerekiyor. Bu işlem sonrasında çizginin çember üzerinde gösterdiği değerlerin bileşenleri, eksen dönüşümü sonrasında oluşan yeni normal (σx’ + σy’) ve kesme (τx’y’) gerilimi bileşenlerini veriyor.

Bir sonraki konu başlığında Mohr çemberini kullanarak asal gerilimleri nasıl hesapladığımızı göstereceğiz.


Devamı: