Eşyönlü tansör Kronecker delta fonksiyonu

Bir sonraki konu başlığında gerilim tansörünün bileşenleri üzerinde duracağız. Bu bileşenlere geçmeden ufak bir parantez açıp eşyönlü tansörlerden bahsedelim.

Eksen yöneliminden etkilenmeyen, diğer bir deyişle eksen yöneliminden bağımsız olarak daima aynı bileşenlere sahip olan tansörlere eşyönlü tansör (İngilizce: isotropic tensor)  adını veriyoruz. Örnek olarak, skalar adını verdiğimiz rank 0 tansörler eksen dönüşümlerinden etkilenmedikleri için (yani daima aynı değere sahip oldukları için), bütün skalar değerlerin birer eşyönlü tansör olduğunu söyleyebiliriz. Rank 1 tansörlerin, yani vektörlerin ise eşyönlü olabilmeleri söz konusu değil. Çünkü bir vektörün bileşenlerinin eksen yönelimi değiştiğinde etkilenmeden, aynı değerde kalması mümkün değil.

Rank 2 tansörler içinde ise, özel bir matrisin eşyönlü özellik sergileyebildiğini görüyoruz. Aşağıda gösterilen bu birim matrisin bileşenleri eksenlerin yönelimi ne şekilde değişirse değişsin, daima sabit kalıyor; yani aynı şekilde yeni eksenlere aktarılıyor.

İlerleyen konularda da göreceğimiz üzere, bu birim matrisi, sağladığı pratik kolaylık nedeniyle sıklıkla aşağıda gösterilen şekilde kullanıyoruz:

Bu fonksiyon, yukarıdaki rank 2 birim tansörün bileşenlerini ifade ediyor: yani iki indis aynı olduğunda (i = j) bileşenler 1, iki indis farklı olduğunda ise (ij) bileşenler 0 değerini alıyor. Bu pratik gösterimi ilk kullanan Alman matematikçi Leopold Kronecker’e ithafen bu fonksiyona Kronecker delta adını veriyoruz.

Bir sonraki konu başlığında Kronecker delta fonksiyonunun katı mekaniğindeki kullanımına bir örnek göstereceğiz.


Devamı: