Gerilim tansörü

Bir önceki konu başlığında bahsettiğimiz tansörleri gerilimi tarif etmek ve gerilim dönüşümlerini gerçekleştirmek için de kullanıyoruz. Üç boyutlu gerilime geçmeden önce, daha kolay bir giriş yapabilmek adına öncelikle bir vektör üzerinden eksen dönüşümlerini nasıl yapıyoruz, anlatalım.

Aşağıda sol üstteki resimde xy eksenleri üzerinde bir vektör olarak gösterilen S gerilimini, (b) ile gösterilen resimdeki x’y’ eksenleri üzerine nasıl aktardığımıza bakalım. Bir vektörü, vektörün eksenler üzerindeki bileşenlerini alt alta yazarak, yani sadece bileşenleri üzerinden ifade ettiğimizi önceki konu başlığında belirtmiştik. Bu açıdan baktığımızda, bir vektörü farklı bir eksen sistemi üzerine aktarırken, aslında vektörün diğer eksenlerdeki bileşenlerini bulmaya çalıştığımızı görebiliriz. Çünkü yeni eksenler üzerinde bulduğumuz bu bileşenleri alt alta sıraladığımızda, vektörün yeni eksenlerdeki tansör gösterimini elde etmiş oluyoruz.

O zaman S vektörünün x’y’ eksenleri üzerindeki bileşenlerini bulmaya çalışalım. İlk olarak, iki eksen sistemi arasında θ kadar bir yönelim farkı olduğunu kabul edelim (aşağıda: b). S vektörünün x’y’ eksenlerindeki bileşenlerini bulmak için öncelikle S vektörünü xy eksenleri üzerinde bileşenlerine (Sx ve Sy) ayırıyoruz (aşağıdaki resimde: c). Ardından, bu bulduğumuz iki bileşenin x’y’ eksenlerindeki bileşenlerini ayrı ayrı buluyoruz (aşağıdaki resimde: d). Yani, bileşenlerin bileşenlerini buluyoruz da diyebiliriz.

Bulduğumuz bu bileşenleri aşağıda gösterilen şekilde yazabiliriz:

Bu iki eşitliği tansör notasyonuyla da yazabiliriz. Yukarıdaki eşitliklerin solunda yer alan yeni eksenlerdeki bileşenleri (Sx’ ve Sy’) bir vektör içinde, eski eksenlerdeki bileşenleri (Sx ve Sy) başka bir vektör içinde, bileşenlerin yönelimini tarif eden sinüs ve kosinüs değerlerini de bir matris içinde toplayarak aşağıdaki gibi düzenledikten sonra:

bu eksen dönüşümünü tansör notasyonuyla aşağıdaki gibi tarif edebiliriz.

Bu eşitlikte Sj dönüşüm öncesindeki, S’i ise dönmüş eksenlerdeki gerilimi ifade ediyor. Eşitlikteki aij terimi ise dönmüş i ekseni ile dönmemiş j ekseni arasındaki açının kosinüsünü gösteriyor.

Şimdi, aynı yaklaşımı kullanarak üç boyutlu gerilim için eksen dönüşümlerini nasıl gerçekleştirdiğimize bakalım. Gerilim tansörünü (rank 2) kullanarak üç boyutlu x, y ve z eksenlerinden x’, y’ ve z’ eksenlerine bir dönüşüm yaptığımızda, yukarıdaki örnekten farklı olarak üçüncü bir eksen daha olması nedeniyle bir yön kosinüsüne daha ihtiyaç duyuyoruz. Bu yön kosinüsünü ekleyerek, rank 2 tansörler için kullandığımız eşitliği aşağıdaki şekilde yazabiliyoruz.

Eşitliğin solundaki terim eksen dönüşümü sonrasındaki gerilim tansörünü, eşitliğin sağ tarafında en sonda yer alan terim ise dönüşüm öncesindeki gerilim tansörünü gösteriyor. Eşitliğin sağ tarafında başta yer alan iki terimse, iki eksen sistemi arasındaki açıların kosinüslerini veriyor.

Eksen dönüşümlerini tansör işlemleriyle yaparken öncelikle tansörün rankına bakıyoruz. Tansörün rankı bize hem kaç indise ihtiyacımız olduğunu, hem de kaç yön kosinüsüne ihtiyaç duyduğumuzu gösteriyor. Örnek olarak yukarıda anlatılan yaklaşımı rank 3 tansörler için uygulamak istersek, gerekli eşitliği aşağıdaki şekilde, yani 3 indis ve 3 yön kosinüsüyle yazmamız gerektiğini görebiliriz.

Son olarak indisleri belirtmek için kullandığımız harflerin tamamen bizim tercihimizde olduğunu belirtelim. Farklı kaynaklarda bu indislerin farklı harflerle gösterildiğine tanık olabilirsiniz. Tutarlı olduğu ve neyi ifade ettiğini bildiğimiz sürece hangi harfleri kullandığımız bir önem taşımıyor.


Devamı: