Gerilim tansörünün bileşenleri Hidrostatik ve sapma gerilimleri

Bu konu başlığında gerilim tansörünün hidrostatik ve sapma bileşenleri üzerinde duracağız. Bu bileşenler arasındaki ilişkiyi daha anlaşılır kılmak için bu konu başlığında tansör bileşenlerini önceki konulardan farklı bir şekilde göstereceğiz.

Herhangi bir kafa karışıklığına yol açmamak için konuya girmeden ufak bir parantez açıp, bu gösterim farkına açıklık getirelim: Yukarıdaki gerilim tansöründeki bileşenlerin indisleri rakamlarla gösteriliyor. Daha önceki konularda olduğu gibi indisleri harflerle göstermeyi de tercih edebilirdik (σ12 yerine σxy gibi). Aşağıda bir örneği verilen bu tansör gösteriminin yukarıdaki gösterimden notasyon dışında bir farkı bulunmuyor. Yukarıdaki gösterimde indislerin aynı olduğu gerilim değerleri normal gerilimleri, indislerin farklı olduğu gerilim değerleri ise kesme gerilimlerini ifade ediyor. Farklı kaynaklarda karşımıza çıkabilecek bu tür farkların sadece birer gösterim tercihinden ibaret olduğunun altını burada çizelim.

Şimdi tekrar esas konumuza dönelim. Gerilim tansörünü, cisim üzerinde yarattıkları etkileri göz önüne alarak iki bileşene ayırabiliyoruz. Hidrostatik ya da ortalama gerilim (İngilizce: hidrostatic stress ya da mean stress) olarak adlandırdığımız birinci bileşen, gerilim tansörünün kesme bileşenlerini göz ardı ederek sadece saf çekme ve baskı gerilimlerini içeriyor. Kesme gerilimi içermediği için gerilimin cisim üzerinde bir şekil değişimi (İngilizce: deformation) yaratmayan; yani sadece elastik, geri döndürülebilir hacim değişimi ortaya çıkaran kısmını temsil ediyor.

Hidrostatik gerilim kesme gerilimi içermediği için, hidrostatik gerilim tansörünün bütün kesme bileşenlerini sıfıra eşitliyoruz. Gerilim tansöründeki bütün kesme değerlerinin sıfırlandığı eksen yöneliminde normal gerilimlerin aldığı değerlere asal gerilim (σ1, σ2 ve σ3) adını verdiğimizi önceki konularda belirtmiştik. Asal gerilim tansörü aşağıda gösteriliyor.

Bir cisim üzerine etki eden hidrostatik gerilimi bulmak için, yukarıdaki asal gerilim tansöründe yer alan üç asal gerilimin ortalamasını alıyoruz.

Hatırlarsanız, gerilim tansörünün normal bileşenlerinin (σx, σy ve σz) toplamının sabit bir katsayı (I1) olduğunu üç boyutlu gerilim durumundan bahsederken belirtmiştik. Dolayısıya, asal gerilimler yerine gerilim tansöründeki normal gerilim değerlerini kullanarak da hidrostatik gerilimi aşağıda gösterilen şekilde ifade edebiliyoruz.

Gerilim tansörünün ikinci bileşenine ise sapma gerilimi (İngilizce: deviatoric stress) adını veriyoruz. Hidrostatik gerilimden farklı olarak bu bileşen, kesme gerilimi değerlerini de içeriyor. Dolayısıyla gerilimin plastik, yani kalıcı şekil değişimine yol açan kısmını temsil ediyor.

Gerilim tansörü hidrostatik ve sapma bileşenlerinden oluştuğuna göre, gerilim tansörünü matris gösterimi ile aşağıdaki gibi iki bileşen halinde yazabiliriz.

Bu eşitliğin sağında kalan birinci matris sapma gerilimi tansörünü, ikinci matris ise hidrostatik gerilimi temsil ediyor. Yukarıdaki eşitliği tansör gösterimiyle aşağıdaki gibi de yazabiliriz.

Hidrostatik gerilim kesme gerilimi içermediği için, gerilim tansöründeki kesme değerlerini etkilemiyor. Bu gerekliliği matematiksel bir ifadeyle gösterebilmek için önceki konu başlığında bahsettiğimiz Kronecker delta fonksiyonundan (δij) faydalanıyoruz. Yukarıdaki eşitlikteki hidrostatik gerilim değerlerini Kronecker delta fonksiyonu ile çarpım durumunda yazdığımızda, hidrostatik gerilimin sadece normal gerilim değerlerini etkilemesini sağlayabiliyoruz. Çünkü kesme değerlerini temsil eden i ≠ j durumunda, tansörün bileşenleri 0 değerini alıyor.

Yukarıdaki eşitliği sapma gerilimi açısından ele aldığımızda, sapma gerilimi tansörünü elde etmek için gerilim tansöründen hidrostatik gerilim tansörünü çıkarmamız gerektiğini görüyoruz.

Bu ifadeyi matris formunda açarak yazdığımızda

eşitliğin sağında gösterilen, sapma tansörünün matris gösterimini elde edebiliyoruz. Benzer bir gösterimi, hatırlarsanız gerilim için de elde etmiş ve gerilim değerlerinin determinantıyla, yani sabit katsayıları hesaplayarak çözüme ulaşmıştık. Benzer bir yaklaşımı sapma gerilimi tansörü için de kullanıyoruz. Bir sonraki konu başlığında sapma gerilimi tansörünün sabit katsayılarından bahsedeceğiz.


Devamı: