Gerinim tansörü

Gerinimin normal ve kesme bileşenlerini nasıl tanımladığımızı gördüğümüze göre, artık bu bileşenlerden oluşan gerinim tansöründen bahsedebiliriz. Fakat öncelikle belirtelim: burada anlattığımız hemen her şey mekanikten ziyade tansörel cebir kapsamına girdiği için, matematiksel işlemler gerilim tansöründe anlatılanlarla birebir paralellik sergiliyor. Eğer gerilim tansörü başlığını henüz okumadıysanız, aşağıda anlatılan işlemlerin ayrıntıları için göz öncelikle bu konu başlığına atmanızı tavsiye ederiz.

Gerilim gibi, gerinimin de bir rank 2 tansör olması nedeniyle, gerilim tansöründe anlattığımıza çok benzer bir çerçeve içinde gerinim tansörünü ele alabiliriz. Daha önce tansörlerin, en yalın ifade biçimiyle, içlerine bir takım sayıları topladığımız matematiksel nesneler oldukarını belirtmiştik. Gerinim tansörünün içerisine gerinimin bileşenlerini topluyoruz. Rank 2 tansör olması nedeniyle gerinim tansörü de, gerilim tansörü gibi matris gösterimine sahip. Aşağıda gerinim tansörü ve bileşenleri gösteriliyor.

İndislerin aynı olduğu köşegen bileşenleri normal gerinimleri, indislerin farklı olduğu bileşenler ise kesme gerinimlerini gösteriyor. Gerinim tansörünün bileşenlerinin açık ifadelerine, sadece bileşenin indislerine bakarak aşağıdaki genel eşitlik vasıtasyla ulaşabiliyoruz.

Şimdi, bu eşitliği kullanarak normal ve kesme gerinimlerinin açık ifadelerini nasıl elde ettiğimize ayrıntılı olarak bakalım. İlk olarak x yönünü ele alalım: x yönündeki normal gerinimi göstermek için her iki indise de x yazmamız gerektiğini biliyoruz (εxx). Dolayısıyla,

Aynı şekilde, y ve z yönlerindeki normal gerinimlerin ifadelerini de aşağıdaki gibi elde edebiliyoruz.

Kesme gerinimleri yüzeye paralel oldukları için, yüzeyin sahip olduğu indisten farklı bir doğrultuda oluşuyorlar; dolayısıyla indisleri birbirinden farklı oluyor. Üç ana kesme geriniminin açık ifadelerini aşağıda gösterilen şekilde elde ediyoruz.

Gerinim tansörünün bileşenlerini teker teker elde ettiğimize göre, artık tansörü aşağıdaki gibi yazabiliriz.

Oluşabilecek herhangi bir kavram karmaşasını ortadan kaldırmak için tekrar hatırlatalım: gerinimin normal ve kesme bileşenleri yukarıdaki tansörde birer bileşen olarak yer alıyor. Dolayısıyla bu bileşenler tansörel bir niceliğe sahip değiller. Bir cisim içindeki gerinimi normal ve kesme bileşenlerine ayırıp, bu bileşenleri bir tansör içinde – sağladığı matematiksel kolaylıklar nedeniyle – grupluyoruz. Bu nedenle, örnek olarak, kesme gerinimi tansörü gibi bir kavramın varlığından söz edemeyiz. Çünkü kesme gerinimi tansör içinde sadece bir bileşen.

Gerinimi bir tansör olarak ifade etmek için bunca zahmete katlandıktan sonra, bu işlemleri neden yaptığımızı hatırlatmak amacıyla tansörlerin sağladığı kolaylıklara tekrar geri dönelim. Gerinimi bir tansör olarak ifade ettiğimizde, eksen dönüşümü sonrasında bütün bileşenleri teker teker hesaplamamıza gerek kalmıyor. Aynı gerilim tansörü için olduğu gibi, bir eksen sistemi üzerinde tarif ettiğimiz gerinim bileşenlerinin başka yönelime sahip bir eksen sistemi üzerindeki değerlerini bulmak için tansör analizinden faydalanarak pratik şekilde bu dönüşümleri yapabiliyoruz. Gerilim tansöründekine benzer bir şekilde, gerinim tansörü için bu dönüşümleri yaparken kullandığımız eşitliği aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

Bu eşitlikte εij xyz eksenleri üzerindeki gerinim bileşenlerini, εkl farklı yönelime sahip x’y’z’ eksenleri üzerindeki gerinim bileşenlerini, aij ve akl ise eksenler arasındaki açıların yön kosinüslerini temsil ediyor.

Daha önce belirttiğimiz gibi, gerinim tansörü işlemlerinde gerilim tansörü için kullandığımız yöntemin birebir aynısını uyguluyoruz. Gerilim tansöründe yaptığımız gibi, yukarıdaki gerinim tansörünün determinantını aldığımızda aşağıdaki üçüncü derece eşitliği elde ediyoruz.

Bu eşitliğin kökleri de bize asal gerinim (İngilizce: principal strain) değerlerini veriyor. Gerinim için asal yönlerden bahsettiğimizde, gerinimin kesme ve dönme (İngilizce: rotation) bileşenlerinin sıfırlandığı ve saf çekme ve baskı gerinimlerinin kaldığı düzlem yönelimlerini kastediyoruz.

Asal gerinim değerlerinin sabit olması nedeniyle yukarıdaki üçüncü derece denklemin sahip olduğu katsayıların da (I1, I2 ve I3) sabit olması gerekiyor. Bu zorunluluk nedeniyle sabit katsayı (Ingilizce: invariant coefficient) adını verdiğimiz bu katsayıların açılımları aşağıda gösteriliyor.


Üç boyutlu gerilim için Mohr çemberinde kesme gerilimlerini ifade ederken kullandığımız yaklaşımın benzerini burada da kullanarak, asal kesme gerinimlerini de aşağıdaki şekide yazabiliyoruz.

Son olarak bir de gerinimin hidrostatik ve sapma bileşenlerinden bahsedelim. Aynı gerilim tansöründe olduğu gibi, gerinim tansörünün hidrostatik (yani şekil değişimi yaratmayan) bileşenine normal gerinimlerin ortalamasını alarak ulaşıyoruz.

Şekil değişiminden sorumlu sapma bileşenine ise, gerinim tansöründen hidrostatik bileşeni çıkartarak ulaşıyoruz.

Bir sonraki konu başlığında, gerilim ve gerinim tansörlerini birbirleriyle nasıl ilişkilendirebildiğimiz üzerinde duracağız.


Devamı: