Mohr çemberi ve asal gerilimler

Eksen dönüşümlerine bağlı olarak gerilim değerlerinde meydana gelen değişimleri, Mohr çemberinin çapını gösteren çizginin yönelimiyle oynayarak buluyoruz. Buraya kadar her şey güzel. Fakat, çizginin yönelimiyle oynarken zaman zaman ilginç bir durumla karşılaşabiliyoruz: çemberin merkezi x ekseni üzerinde olduğu için, çemberin çapını oluşturan çizgi x eksenine paralel olacak şekilde konumlandığında, σx ve σy değerleri olabilecek en yüksek değerlerine erişirken, kesme geriliminin (τxy) sıfırlandığını görüyoruz.

Normal gerilimlerin en yüksek değerlerine ulaştığı bu gerilimleri asal gerilim (İngilizce: principal stress) olarak adlandırıyoruz (yukarıdaki resimde σ1 ve σ2). Normal gerilimler x-ekseni üzerinde çemberin iki ucuna ulaştıklarında, bu gerilimlerin dikey eksen, yani τ ekseni üzerindeki bileşenleri sıfırlandığı için, kesme gerilimi de sıfır değerini alıyor. Sadece asal gerilimlerin etki ettiği yönelimde konumlanan bu düzlemlere de asal düzlem (İngilizce: principal plane) adını veriyoruz.

mühendishane video
Not: Bu içeriği genişletilmiş haliyle video olarak da izleyebilirsiniz. Dersler başlığı altındaki Malzemelerin Mekanik Davranışları video listesine göz atmak için resme tıklayın.

Şimdi, Mohr çemberi üzerinde gösterdiğimiz bu asal gerilimlerin matematiksel ifadelerini nasıl elde ettiğimize bakalım. Bunun için de düzlemsel gerilime maruz kalan bir plakayı ele alalım. Bu gerilim durumuna ait asal düzlemlerin yönelimini bulmak için, eksenleri kaç derece döndürmemiz gerektiğini bulmaya çalışalım.

θ derecelik bir eksen dönüşümünün Mohr çemberi üzerinde 2θ ile gösterildiğini önceki konu başlığında belirtmiştik. Bu nedenle asal gerilim değerlerine ulaşabilmek için, yani çap çizgisini x-ekseni üzerine taşıyabilmemiz için, Mohr çemberinin çapını gösteren mavi çizgiyi saat yönünde 2θ kadar döndürmemiz gerekiyor. Pisagor bağıntısından faydalanarak (yukarıda, sağdaki resim), 2θ değerini aşağıdaki şekilde ifade edebiliyoruz:

Dolayısıyla, bu eşitlik sayesinde, plaka üzerine etki eden σx + σy ve τxy değerlerine bakarak, asal gerilimlere ulaşmak için kaç derecelik bir dönüşüme ihtiyaç duyduğumuzu bulabiliyoruz.

Çemberin merkezinin (σx + σy)/2 değerine denk gelmesi gerektiğini bir önceki konu başlığında belirtmiştik. Çemberin merkezini gösteren bu değere, yukarıdaki resimde hipotenüsle gösterilen yarıçap uzunluğunu eklediğimizde (ya da çıkardığımızda) asal gerilimlerin değerlerini  elde edebiliyoruz. Çünkü, resimde gösterildiği gibi, asal gerilimler çemberin merkezinden yarıçap uzaklığında bulunuyorlar.

Kesme geriliminin alabileceği en yüksek değer ise, çap çizgisi y eksenine paralel konumlandığında ortaya çıkıyor ve değeri de yarıçap uzunluğuna eşit oluyor. Çemberin yarıçapı, yukarıda pisagor bağınıtısı ile ulaştığımız ifadeye eşit olduğuna göre, bu ifadenin aynı zamanda kesme geriliminin en yüksek değerini vermesi gerektiğini görebiliriz:

Kesme geriliminin en yüksek değere ulaştığı bu düzlemler asal düzlemlere 2θ = 90° açıyla konumlandıkları için, bu düzlemlerin yönelimi için ayrıca bir ifade yazmamıza gerek yok. Asal düzlemlerin yönelimine θ = 45° ekleyerek, kesme gerilimlerinin en yüksek değere ulaştığı bu düzlemlerin yönelimini kolayca bulabiliyoruz.

Devamı: