Tansörlere giriş

Bir sonraki konu başlığında bahsedeceğimiz gerilim tansörüne geçmeden önce, konunun daha rahat kavranabilmesi için tansör (İngilizce: tensor) kavramını biraz açmaya çalışalım. Kavranması biraz zor bir kavram olması nedeniyle bu başlık altında matematiksel terminolojiden mümkün olduğunca kaçınarak, elimizden geldiğince basit bir dil kullanmaya özen göstereceğiz.

Gruplanmış sayıları temsil eden matematiksel nesnelere tansör adını veriyoruz. Bir tansör içinde grupladığımız sayılar birçok farklı şeyi temsil ediyor olabilir. Malzeme biliminde tansörleri genellikle fiziksel sistemlerin özelliklerini temsil eden sayıları gruplamak için kullanıyoruz. Bir fiziksel sistemi tarif edebilmek için kaç farklı sayıya ihtiyaç duyduğumuz ise, tahmin edebileceğiniz gibi, sistemden sisteme değişiklik gösteriyor.

İlk olarak tek bir sayı kullanarak tarif edebildiğimiz fiziksel sistemlerle başlayalım. Örneğin bir cismin kütlesini tek bir sayı ile belirtebiliyoruz (2 kg, gibi). Benzer şekilde, sıcaklık için de tek bir sayı vermemiz yeterli oluyor (25°C, gibi). Tek bir sayıdan oluşan bu tansörlere skalar adını veriyoruz.

Tansörleri bir sayı dizisi ile ifade edilen fiziksel sistemleri tarif etmek için de kullanabiliyoruz. Vektör adını verdiğimiz bu tansörler, bir sütun ya da bir sıra boyunca dizilen sayılardan oluşuyor. Örnek olarak, iki nokta arasındaki mesafe skalar bir değer olmasına rağmen (yani tek bir sayıyla ifade edebilmemize rağmen), bir konumdan başka bir konuma geçişi ifade eden “yer değişimi” vektör niteliğini taşıyor. Çünkü bir yer değişimini tam olarak tarif edebilmemiz için değişimin hem büyüklüğünü (İngilizce: magnitude) hem de yönünü belirtmemiz gerekiyor. Örnek olarak aşağıdaki resimde 0 ve p noktaları arasındaki yer değişimi, yani değişimin büyüklüğü ve yönü, kırmızı renkli A vektörü ile gösteriliyor.

Yer değişiminin vektörel gösterimini elde etmek için, bu vektörün x, y ve z eksenleri üzerindeki bileşenlerini bir sıra (ya da sütun) halinde yazıyoruz. Örnek olarak yukarıdaki resmin sağında A vektörünün tansör gösterimi yer alıyor. Bu sayı dizisine bakan birisinin bu rakamların ne anlama geldiğini anlayabilmesi için, bu sayı dizisindeki sayıların ne ifade ettiğini de belirtmemiz gerekiyor (Ax, Ay, Az; yani A vektörünün x, y ve z bileşenleri gibi). Bu örnekte verdiğimiz vektörün üç bileşeni olması, vektörün üç boyutlu bir eksen sistemi üzerinde, yani üç boyutlu reel koordinat uzayında (R3) yer aldığını gösteriyor. Eğer vektör üç değil de, örneğin beş boyutlu bir uzayda yer alsaydı, bu durumuda vektörün beş bileşeni olduğunu görecektik. Dolayısıyla, vektörün sahip olduğu bileşen sayısının aynı zamanda vektörün kaç boyutlu bir uzayda yer aldığını gösterdiğini söyleyebiliriz.

Kısaca özetlememiz gerekirse, skalar adını verdiğimiz boyutsuz tansörleri sadece büyüklükleri; vektör adını verdiğimiz tek boyutlu tansörleri ise büyüklükleri ve yönleri üzerinden tanımlıyoruz.

Zaman zaman, bazı fiziksel sistemleri tarif edebilmek için vektör dizisinden oluşan tansörlere de ihtiyaç duyabiliyoruz. Birkaç vektörü yan yana ya da alt alta yazarak oluşurduğumuz bu tansörler, tahmin edebileceğiniz üzere matris görünümüne sahip oluyor. Matris görünümüne sahip bu tansörleri skalar ya da vektör gibi ayrı bir isim kullanmadan, sadece tansör olarak adlandırıyoruz.

Bir tansörün türünü belirtmek için tansörleri rank adını verdiğimiz dereceler üzerinden de tarif edebiliyoruz. Bir tansörün rankını, tansörün kaç boyutlu olduğuna bakarak; diğer bir deyişle tansörü ifade edebilmek için kaç indis gerektiğine bakarak buluyoruz. Örneğin, matris yapısındaki rank 2 tansörleri ifade edebilmek için iki indise ihtiyaç duyuyoruz (A’nın yanındaki iki alt simge).

Bu indislerden ilki (yani i) matrisin satırlarını, ikincisi ise (yani j) sütunlarını gösteriyor. Dolayısıyla A21 dediğimizde, matrisin 2. satırında ve 1. sütununda bulunan bileşeni ifade ediyoruz (yani yukarındaki matriste 4). A32 dediğimizde ise 3. satır ve 2. sütundaki bileşeni ifade ediyoruz (yani yukarıdaki matriste 1).

Bir çizgi ile ifade edilen vektörleri tek boyutlu oldukları, yani rank 1 oldukları için tek bir indisle gösteriyoruz.

Bir noktayı ifade eden skalar değerleri göstermek için indise ihtiyaç duymadığımız için skalarları rank 0 (sıfır) tansörler olarak kabul ediyoruz.

İkiden daha yüksek ranka sahip tansörleri de, rank 2 tansörler gibi sadece ranklarını belirterek adlandırıyoruz (rank 3 tansör, gibi). Rank 2 tansörlerin matris yapısına sahip olduklarını yukarıda belirtmiştik. Rank 3 tansörleri kağıt üzerinde gösterebilmek için sayıları üç boyutlu küp geometrisinde yazmamız gerekiyor. Bu da, tahmin edebileceğiniz gibi pek kolay bir durum değil. Rank 4 tansörlerdeki sayıları ise algılayabileceğimiz bir düzende yazarak gösterebilmemiz zaten mümkün değil. Bu tür pratik zorluklar nedeniyle, tansör içindeki sayıları açıkça yazmak yerine, yukarıdaki örneklerde gösterdiğimiz gibi tansöre bir ad verip (yukarıdaki A tansörü gibi), matematiksel işlemlerde bu şekilde kullanıyoruz. Bu da, büyük sayı gruplarını bazı işlemlerden geçirmek istediğimizde, tahmin edebileceğiniz gibi işimizi önemli ölçüde kolaylaştırıyor.

Fiziksel sistemleri tarif ettiğimiz sayıların zaman zaman çok fazla olması nedeniyle tansörleri malzeme biliminde sıklıkla kullanıyoruz. Örneğin bir sonraki konu başlığında gerilimi rank 2 tansör olarak tarif edeceğiz. Bir cisim üzerine etki eden bütün gerilim değerlerini bir tansör içinde toplayıp, bu değerlerin eksen dönüşümünden nasıl etkilendiğini bulmak için tek tek işlem yapmak yerine, tansör işlemleriyle istediğimiz sonuca daha rahat bir şekilde nasıl ulaşabildiğimizi bir sonraki konu başlığında açıklayacağız.


Devamı: