Üç boyutlu gerilim için Hooke kanunu ve Poisson sabiti

Hooke kanunu, bir malzemeyi elastik olarak gerebilmek için uygulanması gereken gerilimi bulmamızı sağlıyor. Daha önce tek yönlü gerilim için Hooke kanunundan bahsederken, elastik gerilim ve gerinim ilişkisini aşağıda gösterilen şekilde vermiştik.

Tek yönlü gerilim için geçerli olan bu eşitliği, yalnızca saf çekme ya da baskı gerilimleri için kullanabiliyoruz. Gerilimin iki ya da üç boyutlu olduğu durumlarda ise, Hooke kanununun bu gerilim durumlarına uygun hale uyarlanması gerekiyor.


mühendishane video
Not: Bu içeriği genişletilmiş haliyle video olarak da izleyebilirsiniz. Dersler başlığı altındaki Malzemelerin Mekanik Davranışları video listesine göz atmak için resme tıklayın.


Bu uyarlamayı nasıl yaptığımızı açıklamak için üç boyutlu geometrideki bir cisme tek bir yönde (mesela x yönünde) çekme kuvveti uyguladığımızı farz edelim. Bu kuvvetin etkisiyle cisim x yönünde belli bir miktar esnerken, diğer doğrultudaki boyutlarının bir miktar daraldığını gözlemliyoruz. Çünkü, cismin hacmi sabit olduğu için, bir doğrultudaki boyutu arttıkça, diğer doğrultudaki boyutlarının azalması gerekiyor. Benzer şekilde, tek bir yönde sıkıştırılan bir cismin diğer doğrultulardaki boyutlarının arttığını, yani cismin enlemesine şiştiğini görüyoruz.

Aşağıdaki resimde L kenar uzunluğuna sahip bir küp gösteriliyor. Küp üzerine x yönünde bir çekme kuvveti uygulandığında x yönünde oluşan uzama ΔL1 ile, diğer doğrultudaki daralmalar ise ΔL2 ile gösteriliyor

Kuvvetin sadece x yönünde uygulanmasına rağmen, cisimdeki gerinim sadece x yönünde değil, y ve z yönlerinde de oluşuyor. Fakat, kuvvet yönünde oluşan gerinim ile enlemesine oluşan gerinimler birbirlerinden farklı değerler sergiliyor (yani ΔL1 ≠ ΔL2). Hooke kanunu vasıtasıyla x yönündeki gerinimi aşağıdaki şekilde yazarak;

y ve z yönünde oluşan gerinimlerin aşağıdaki ifadelerine ulaşabiliyoruz.

Bu eşitliklerde dikkat etmemiz gereken iki önemli nokta var. İlk olarak, kuvvet yönünde oluşan gerinim ile kuvvete dik yönlerde oluşan gerinimlerin zıt işaretlere sahip olduklarını görüyoruz. Cisim kuvvet yönünde uzuyorsa, diğer yönlerde daralıyor; ya da kuvvet yönünde cisim sıkıştırılıyorsa, diğer yönlerden şişiyor. Elastik şekil değişiminde gözlemlediğimiz bu etkiye, Fransız matematikçi ve fizikçi Siméon Denis Poisson’a ithafen Poisson etkisi adını veriyoruz.

İkinci önemli nokta ise, kuvvet yönünde oluşan uzamanın, dolayısıyla da (kübik geometri gereği) gerinimin kuvvete dik yönlere kıyasla daha fazla olması (yani ΔL1 > ΔL2). Bu fark nedeniyle yukarıdaki eşitliklerde kuvvete dik yönlerdeki gerinimi kuvvet yönündeki gerinime oranlamak için ν ile gösterilen ve Poisson sabiti adını verdiğimiz bir sabit kullanıyoruz. Kuvvete dik doğrultudaki, yani enlemesine oluşan gerinimleri εen ile, kuvvet ekseni yönündeki gerinimleri de εeksen ile gösterirsek, Poisson sabitini aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

Verdiğimiz bu örnekte, sadece tek bir yönde kuvvet uygulanmasıyla üç yönde birden gerinim oluştuğunu gördük. Eğer cisim üzerine üç eksenli bir gerilim etki ediyorsa, her bir yönde oluşan gerinimi bulmak için, gerilimin bütün bileşenlerinin her bir doğrultuda yarattığı gerinimleri toplamamız gerekiyor. Bu fikirden yola çıkarak ve Poisson etkisini de göz önüne alarak, üç boyutlu gerilim için Hooke kanunu denklemlerini aşağıda gösterilen şekilde yazabiliyoruz.

Son olarak bir de kesme gerilimleri ve kesme gerinimleri arasındaki ilişkilerden bahsedelim. Normal gerilim ve gerinim gibi, kesme gerilimleri ve kesme gerinimleri arasında da doğrusal bir ilişki bulunuyor. Kesme değerleri için Hooke eşitliklerini aşağıda gösterilen şekilde yazıyoruz.

Bu eşitliklerde τij kesme gerilimini, γij ise kesme gerinimini ifade ediyor. Eşitliklerdeki doğrusallık sabitine de (G) kesme elastik modülü ya da kısaca kesme modülü (İngilizce: shear modulus) adını veriyoruz. Young modülüne benzer şekilde kesme modülü de bir malzemenin kesme gerilimine gösterdiği direnci temsil ediyor. Young modülünden farklı değere sahip olan kesme modülünü, malzemenin Young modülü ve Poisson sabitini kullanarak, aşağıda gösterilen eşitlikle hesaplayabiliyoruz.

Buraya kadar anlattığımız elastik gerilim ve gerinim ilişkilerinin sadece elastik, yani geri kazanılabilir şekil değişimine uğrayan eşyönlü (İngilizce: isotropic) katı malzemeler için geçerli olduğunu tekrar hatırlatalım.


Devamı: