Mohr çemberini üç boyutlu gerilim için de kullanabiliyoruz. Üç boyutlu gerilim durumunda, düzlemsel gerilimden farklı olarak asal gerilimlerin değerlerini sadece çember üzerinden değil, aynı zamanda çember içine düşen alan içinden de okuyoruz. Çember içinde kalan alana daire adı verildiği için, bazı kaynaklarda üç boyutlu gerilim için çizilen Mohr çemberinden Mohr dairesi adıyla bahsedildiğini görebilirsiniz.
Not: Bu içeriği genişletilmiş haliyle video olarak da izleyebilirsiniz. Dersler başlığı altındaki Malzemelerin Mekanik Davranışları video listesine göz atmak için resme tıklayın.
Üç boyutlu gerilim durumda asal gerilimlerin Mohr çemberiyle bulunması, düzlemsel gerilim durumuna kıyasla çok daha karmaşık bir analiz gerektiriyor. Bu nedenle bu konu başlığında bu hesaplamaların ayrıntılarına girmeden, sadece bu görsel yöntemin sağladığı avantajlar üzerinde duracağız.
Üç boyutlu gerilim durumunu gösteren Mohr çemberinin genel yapısını bir örnek üzerinde açıklayalım. Aşağıda (A) ile gösterilen resimde, üç asal yönde birden çekme gerilimine maruz kalan bir birim küp gösteriliyor. Düzlemsel gerilim durumunda olduğu gibi üç boyutlu gerilimde de asal gerilimleri çemberlerin gerilim (σ) ekseni ile yaptığı kesişim noktalarına bakarak buluyoruz. Tanımları gereği σ1 > σ2 > σ3 olduğu için, asal gerilimleri eksen üzerinde bu sıralamayla dizilebilecekleri şekilde adlandırıyoruz. Bu örnekteki asal gerilimlerin üçü de çekme, yani (+) değere sahip olduğu için, gerilim ekseni üzerine (+) değerler alacakları şekilde diziliyorlar (aşağıda: B).
Üç boyutlu gerilim durumunda üç asal gerilim bulunması nedeniyle, en büyük ve en küçük asal gerilimler arasında, çemberin içinde düşen bir asal gerilim (σ2) değeri daha bulunuyor. Bu asal gerilimin değerinden yola çıkarak çember içine iki ufak çember daha çizebiliyoruz. Bu çemberlerin yarıçapları, küp yüzeyine dik konumlanan düzlemler üzerine etki eden kesme gerilimlerinin değerlerini veriyor. Örneğin yukarıda (C) ile gösterilen resimde 2 düzlemine (yani küpün üst yüzeyine) dik konumlanan ve 1 ve 3 düzlemlerini kesen düzlemler gösteriliyor. Bu düzlemler üzerine etki eden kesme geriliminin (τ2) büyüklüğünü, en büyük ve en küçük asal gerilimlerin farkından yola çıkarak, yani Mohr çemberinin yarıçapına bakarak hesaplayabiliyoruz. Asal gerilimler ve kesme gerilimleri arasındaki bu ilişkiyi daha anlaşılır kılmak için aşağıda gösterilen, farklı gerilim durumları için çizilmiş Mohr çemberlerine bakalım.
Yukarıda soldaki resim, tek yönlü gerilim durumundaki (çekme ya da basma testlerinde olduğu gibi) Mohr çemberinin yapısını gösteriyor. Ortaki resim ise, σ1 sabit tutularak ikinci asal yönde gerilim uygulandığında Mohr çemberinin nasıl şekil aldığını gösteriyor. Dikkat ederseniz, σ1 değeri sabit tutularak σ2’nin uygulanması τ2 değerini, yani en yüksek kesme gerilimini değiştirmiyor. Üçüncü asal yönde bir miktar baskı gerilimi uygulandığında ise (sağdaki resim), en yüksek kesme gerilimini (τ2) sabit tutabilmek için σ1 değerinin bir miktar azalması gerekiyor. En büyük asal gerilimin ne kadar azalması gerektiğini Mohr çemberi sayesinde kolaylıkla görebiliyoruz. Çizdiğimiz bütün bu çemberlerin yarı çaplarından yola çıkarak, asal gerilimlere bağlı olarak kesme gerilimlerinde oluşan değişimleri aşağıda gösterilen eşitliklerle ifade edebiliyoruz.
Şimdi tekrar üç boyutlu çekme gerilimi durumuna geri dönelim. Aşağıdaki resimlerde, iki farklı üç boyutlu çekme durumu için Mohr çemberleri gösteriliyor. Soldaki resimde, üçüncü asal yönde σ2 değerine eşit miktarda çekme gerilimi uygulandığında (σ2 = σ3) cisim üzerine etki eden en yüksek kesme geriliminin azaldığını görüyoruz (yukarıda sağda gösterilen duruma kıyasla). Üç asal yönde birden eşit miktarlarda çekme gerilimi uygulandığında ise (aşağıda sağdaki resim), cisim üzerindeki bütün kesme gerilimlerinin sıfırlanmasıyla Mohr çemberinin bir noktaya indirgendiğini gözlemliyoruz. Bu da, üç asal yöndeki gerilim eşit olduğunda, malzemede bir şekil değişimi (İngilizce: deformation) olmayacağı anlamına geliyor. Hidrostatik gerilim adını verdiğimiz bu duruma ilerleyen konularda tekrar döneceğiz.
Dikkat ederseniz, çizdiğimiz bütün Mohr çemberleri gerilim (σ) ekseninin altında ve üstünde simetrik bir yapı sergiliyor. Bu nedenle bazı kaynaklarda, üç boyutlu gerilim durumunu tasvir eden Mohr çemberlerinin aşağıda sağda gösterilen şekilde de resmedildiğini görebilirsiniz.
Çemberin silinen alt kısmının üst kısımla simetrik olması nedeniyle herhangi bir bilgi kaybı olmadan, daha pratik bir şekilde Mohr çemberini bu şekilde de kullanabiliyoruz.
Devamı:
- Sonraki sayfa: Tansörlere giriş
- Önceki sayfa: Üç boyutlu gerilimin matematiksel ifadesi
- Ana konu başlığı: Malzemelerin Mekanik Davranışı