Bu başlık altında, bir sistemin yaptığı iş miktarını P–V diyagramlarını kullanarak nasıl hesapladığımızdan bahsedeceğiz.
Önceki konularda, piston üzerinde duran kum yığınından bir kum tanesini kaldırdığımızda, sistemin yarı durgun bir işleyişle genleşerek durumunu nasıl değiştirdiğini açıklamıştık. Piston üzerindeki yığından tek bir kum tanesini kaldırdığımızda, pistonun bir miktar yukarı hareket edip tekrar sabitlenmesinin nedeni, hacimdeki artış nedeniyle kap içindeki gaz basıncının azalarak piston üzerindeki ağırlığı dengelemesinden kaynaklanıyor. Bu durumda pistonu yukarı doğru iten kap içindeki gaz, yani sistem olduğu için, pistonu sistemin kaldırdığını, yani sistemin iş yaptığını söylüyoruz. Şimdi, kum tanesini kaldırdığımızda sistemde meydana gelen değişime biraz daha yakından bakalım.
Yukarıdaki resimde, tek bir kum tanesini kaldırdığımızda pistonun konumunun ne şekilde değiştiği, biraz abartılı bir şekilde gösteriliyor. Kum tanesini kaldırmadan önce, sistemimizin hacminin V1 olduğunu varsayalım. Kum tanesini kaldırdığımızda ise, pistonun hareketiyle sistemin hacminin V2 değerine çıktığını kabul edelim. Kum tanesini kaldırarak sistemin hacmini ne kadar arttırdığımızı bulmak için bu iki değerin farkını (ΔV = V2 – V1) almamız yeterli. Sistemin genleşmesiyle elde edilen bu hacim artışını (ΔV), yukarıda sağdaki resimde de gösterildiği gibi, pistonun yüzey alanı ile pistonun hareket ettiği mesafeyi (h) çarparak bulabiliyoruz. Hacimdeki bu değişimi, matematiksel bir ifadeyle aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
Şimdi, bu hacim değişimini yaratmak için sistemin ne kadar iş yapması gerektiğini hesaplayalım. Bir kütleyi belli bir mesafe boyunca hareket ettirdiğimizde, yapılan iş miktarını bulmak için uyguladığımız kuvvet ile cismin katettiği mesafeyi çarpmamız gerektiğini fizik derslerinden hatırlıyorsunuzdur. Yapılan iş miktarını hesaplamak için benzer bir yaklaşımı burada da uyguluyoruz: gazın piston yüzeyine uyguladığı kuvvet ile pistonun katettiği mesafeyi (h) çarpıyoruz. Gazın pistona uyguladığı kuvveti (F), gazın pistona uyguladığı basınçla (P) pistonun yüzey alanını (A) çarparak elde ediyoruz:
Yapılan iş miktarını kuvvet ile mesafeyi çarparak elde ettiğimize göre,
toplam iş miktarına, basınç ve hacim değişiminin çarpımıyla da ulaşabileceğimizi görebiliriz:
Sonuç olarak elde ettiğimiz bu eşitliğe göre, sistemin pistonu iterek yaptığı iş miktarını hesaplamak için, sistemin piston üzerine uyguladığı basınç ile hacimdeki değişim miktarını çarpmamız yeterli oluyor.
Şimdi, bu yaklaşımı bir P-V diyagramı üzerinde tarif etmeye çalışalım. Bu sefer tek bir kum tanesi kaldırmak yerine, işi biraz daha zorlaştırmak için, peşpeşe birkaç kum tanesini kaldırarak sistemi birinci durumdan ikinci duruma getirdiğimizi varsayalım. Eğer bütün kum tanelerinin eşit ağırlığa sahip olduğunu kabul edersek, kaldırdığımız her bir kum tanesinin sistemin hacminde ΔV kadar bir artışa neden olacağını, yukarıdaki örnekten yola çıkarak söyleyebiliriz. Dolayısıyla, aşağıdaki resimde de gösterildiği üzere, her bir kum tanesinin kaldırılmasıyla sistemin yaptığı iş miktarını kırmızı dikdörtgenlerin alanlarını toplayarak hesaplayabiliriz. Bir kum tanesinin kaldırıldığını gösteren her bir kırmızı diktörtgenin alanının PΔV’ye, yani sistemin yaptığı iş miktarına eşit olduğuna dikkat ediniz.
Sürece bu açıdan baktğımız zaman, kum tanelerinin peşpeşe kaldırılmasıyla sistemin birinci durumdan ikinci duruma gelene kadar yaptığı toplam iş miktarının, bu iki durum arasında kalan bütün kırmızı dikdörtgenlerin alanları toplamına eşit olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla, sistemin yaptığı toplam iş miktarının, durum değişimini tarif eden yolun altında kalan alana eşit olacağını da söyleyebiliriz. Bir eğrinin altında kalan alanı eğrinin integrali ile hesapladığımız için, yapılan toplam işi de yolun altındaki alanı gösteren integral ile bulabiliyoruz.
Yukarıda tarif ettiğimiz durum değişimi ters yönde gerçekleştiğinde, yani kum tanelerini teker teker piston üzerine geri yerleştirdiğimizde, sistemin ikinci durumdan birinci duruma geri döneceğini biliyoruz. Yalnız bu sefer, yukarıdaki örnekten farklı olarak, bu durum değişimini sağlayan işi sistem değil, biz yapıyoruz; yani sisteme iş eklemiş oluyoruz. Böyle bir durumda, bu sefer sistemin yaptığı iş değil, sistemi birinci duruma geri döndürmek için bizim ne kadar iş yapmamız gerektiği önem kazanıyor. Bu iş miktarını da, yukarıdaki örnekte olduğu gibi, aynı integrali kullanarak hesaplıyoruz. Fakat bu durumda, sistemin hacmi V2’den V1’e doğru daralacağı için, integralin sınırlarını da V2’den V1’e olacak şekilde yer değiştiriyoruz. Birinci durumdaki hacim, ikinci durumdaki hacimden daha küçük olduğu için, bu integralin verdiği iş miktarının eksi değere sahip olması gerekiyor. Bu da, daha önce belirttiğimiz gibi, işi sistemin değil, bizim yaptığımız anlamına geliyor.
Kısaca özetlemek gerekirse, bir termodinamik sistemin bir durumdan diğerine geçtiğinde ne kadar iş yaptığı ya da bizim ne kadar iş yapmamız gerektiği, sistemin izlediği yola göre değişiklik gösteriyor. Bir sonraki konu başlığında, sistemin durumunu hangi yol üzerinden değiştirdiğine bağlı olarak iş miktarının nasıl değiştiğiyle ilgili ilginç bir örnek üzerinde duracağız.
Devamı:
- Sonraki sayfa: İş ve yol ilişkisi
- Önceki sayfa: İş, ısı ve iç enerji ilişkisi üzerine birkaç basit örnek
- Ana konu başlığı: Termodinamik